“Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang melalui sebuah titik di Luar Lingkaran.”
Misalkan titik P(x1,y1) terletak di luar lingkaran L. Banyaknya garis singgung yang dapat di tarik dari titik P(x1,y1) ada 2 buah, yaitu garis singgung PA dan garis singgung PB. Persamaan garis singgung itu dapat ditentukan sebagai berikut :
- Misalkan persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1,y1) bergradien m, maka persamaannya adalah y=mx-mx1+y1.
- Substitusikan y ke persamaan lingkaran L sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x
- Karena garis menyinggung lingkaran L, maka haruslah diskriminan D=0 sehingga diperoleh nilai-nilai m.
- Substitusikan nilai m ke persamaan garis y=mx-mx1+y1 sehingga diperoleh persamaan garis singgung yang diminta.
Contoh soal :
1. Titik (-1,7) => (-1)2 + 72 = 50 > 25, berarti titik (-1,7) terletak di luar lingkaran.
Misalkan garis singgung lingkaran adalah
y - = m ( x - )
y - 7 = m(x+1)
y = mx + m + 7
x2 + y2 = 25
x2 + (mx + m + 7)2 = 25
x2 + m2x2 + 2mx(m+7) + (m+7)2 = 25
(1+m2)x2 + (2m2+14m)x + m2 + 14m + 24 = 0
2. Syarat garis menyinggung lingkaran adlah D = 0, sehingga didapat :
D = - 4ac = 0
(2m2+14m)2 - 4(1 +m2)(m2 +14m +24) = 0
4m4 + 56m3 +196m2 – 4m2 – 56m -96 – 4m4 – 56m3 – 96m2 =0
96m2 – 56m-96 =0
12m2 – 7m – 12 =0
(3m – 4)(4m +3) = 0
m= atau m= -
3. Substitusikan nilai m ke y = mx + m + 7
Diperoleh y = x + + 7
3y = 4x + 25 = 0
3y - 4x - 25 = 0
Dan, y = - x - + 7
4y = 3x – 18 = 0
4y - 3x + 18 = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran adalah
3y - 4x - 25 = 0 dan 4y - 3x + 18 = 0
2. Tentukan persamaan garis singgung x2 + y2 = 1 yang melalui titik ( 2 , 0 )
Jawab :
y - = m ( x - )
y – 0 = m(x - 2)
y = mx – 2m
x2 + y2 = 1
x2 + (mx – 2m)2 = 1
x2 + m2x2 - 2mx(2m) + 4m2 = 1
x2 + m2x2 - 4m2x + 4m2 – 1= 0
(1+m2)x2 - (4m2)x + 4m2 - 1 = 0
a b c
D = b2 - 4ac = 0
(4m 2) 2 – 4(1+m2)(4m2-1) = 0
16m 4 – (16m 2 – 4 + 16m 4 - 4m 2) = 0
16m 4 – 16m 2 + 4 - 16m 4 + 4m 2 = 0
- 12m 2 + 4 = 0
12m 2 = 4
m 2 =
m =
m =
y = mx – 2m
y = m( ) – 2 ( )
y = m -
3y = m - 2
3y - m + 2 = 0
9y – 3m + 6 = 0
Jadi persamaan garis singgung lingkaran adalah
9y – 3m + 6 = 0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar